Ex3 Thermique 1D

Objectif

L’objectif de cet exercice est de faire ressortir les dimensions caractéristiques et les limites des hypothèses du modèle thermique à 1 dimension.

Résolution 1D de l’équation de la chaleur

L’équation de la chaleur vous est donnée en cours.

1. En considérant les grandeurs physiques constantes, établir la forme de l’équation de la chaleur dans un solide et à l’équilibre.
2. En l’absence de charge volumique, établir la solution 1D en régime stationnaire.
3. En phase solide et l’absence de charge volumique, établir la relation approchée de la longueur caractéristique de diffusion δ en fonction du temps.
4. L’expression exacte de la longueur caractéristique de diffusion est donnée par la résolution de l’équation de la chaleur en transitoire. En supposant une température initiale homogène et une température extérieure constante, résoudre l’équation précédente.
   1. Exprimer l’équation précédente en fonction d’une variable sans dimension.
   2. Résoudre enfin l’équation en faisant un nouveau changement de variable.
   3. Établir la solution 1D générale en régime transitoire.
5. Dans le cas d’une irradiation par laser établir le terme d’apport de chaleur dans l’équation de la chaleur à l’aide d’une analyse dimensionnelle et du tableau des paramètres thermo-physiques.

Calcul de températures et domaine de validité du modèle 1 D

1. Dans le cas d’un métal de fer semi-infini :
   1. Calculer le temps nécessaire pour atteindre la température de fusion au centre de la zone d’irradiation avec une intensité de I₀ = 1 MW cm^–2 focalisée sur un diamètre de Φ_L= 0,4 mm ?
   2. Idem pour I₀ = 1 kW cm^–2 ?
   3. Discuter de la pertinence des deux résultats. Sous quelles conditions l’approximation 1D reste-t-elle vraie dans cette configuration ?
   4. Calculer la valeur de cette condition.
2. Dans les même conditions que la questions précédentes, calculer l’élévation de température au centre de la zone irradiée à l’équilibre thermique ?
3. Déterminer la relation qui lie T (δ, t) et T(0, t) ?
4. Quelle utilisation peut-on déduire des expressions de cet exercice ?

Formulaire

M

ρs

ρl

ρ

K

Cp

Tf

Tv

Lf

Lv

n

k

g

g.cm-3

g.cm-3

nΩ m

Wm-1K-1

J kg-1 K-1

K

K

J.g-1

J.g-1

Fe

55,8

7,87

6,98

97,1

80,4

447

1811

3134

247

6093

2,9

3,8

quation de Fourrier : $\mathsf{\vec{q}(x) = -K\vec{\nabla T} }$

Équation de la chaleur : $ \mathsf{\cfrac{\partial T}{\partial t } + \vec{v} . \vec{\nabla T} = K \Delta T + \cfrac{A}{\rho c_p }} $

Diffusivité : $\mathsf{\kappa = \cfrac{K}{\rho c_p}}$ [m²s^-1]

Fonction erreur : $\mathsf{erf(x)=\cfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt}$

Fonction complémentaire : $\mathsf{erfc(x)=1-\cfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}dt}$

Intégrale de la fonction erreur : ierfc(x) = $\mathsf{\int_0^{\infty}}$erfc(t) dt = $\mathsf{\cfrac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}}$ – x erfc(x)

ierfc(1) ≈ 0,05

$\mathsf{T(z,t)=I_{abs}\cfrac{\delta}{K}}$ ierfc$\mathsf{\cfrac{z}{\delta}}$

$\mathsf{T(0,t)=\cfrac{\delta}{K \sqrt{\pi}}I_{abs}}$

$\mathsf{T(z,\infty)=\cfrac{I_{abs}}{K}\big(\sqrt{x^2+r^2}-x\big)}$

$\mathsf{\mathfrak{C}}$