Ex0 La structure de l’atome : Exercice d’introduction

Objectif

Cet exercice a pour objectif de mettre en lumière les principes physiques fondamentaux nécessaires à la compréhension de la quantification des niveaux d’énergie dans l’atome en champs proche. Ces concepts jouent un rôle central dans l’analyse des mécanismes de transfert d’énergie par émission et absorption quantique du rayonnement laser. L’exercice sert ainsi de lien entre plusieurs disciplines que sont : l’électromagnétisme, la physique atomique, la thermodynamique, la mécanique classique et la mécanique quantique ; l’atome étant le dénominateur commun à ces différents domaines. Cette approche interdisciplinaire est nécessaire à la physique des procédés laser et se limitera à une approche semi-classique.

Système à symétrie radiale : L’ approche de Bohr

Cet exercice s’inspire des travaux pionniers de N. Bohr¹. L’hypothèse atomique a été précédemment validée par J. Perrin ² et une partie de sa structure a été décrite par E. Rutherford et par J. J. Thomson. L’atome d’hydrogène imaginé par Niels Bohr, est modélisé comme un potentiel central positif avec un électron tournant sur une orbite stable à une vitesse v₁ et à une distance r₁.

1. Que se passe-t-il lorsqu’ :
   1. une particule chargée subit une accélération ?
   2. un atome est au repos ?
   3. un atome est excité ?
2. Quelles hypothèses peuvent être faites sur la base de ces observations ?
3. En considérant un électron qui gravite autour d’un puits de potentiel ponctuel (qui représente le potentiel coulombien dû aux charges du noyau), nous supposerons, par raison de simplicité du système, que l’orbite est circulaire. L’état stationnaire implique l’équilibre des forces. Quelles sont alors les forces qui s’exercent sur l’électron en mécanique classique ? Déterminez la relation de la vitesse de l’électron en fonction du rayon et de la charge.
4. Supposez que cet électron peut être d’écrit également comme une onde dans le champ proche du noyau. Pour qu’une onde stationnaire s’établisse sur cette orbite il est nécessaire que le périmètre soit un multiple ℕ de la longueur d’onde, λ. En partant de cette hypothèse, déterminez la condition imposée sur le moment cinétique.
5. Résolvez le système de deux équations à deux inconnues en supposant l’équilibre des forces et la conservation du moment cinétique.
6. Calculez la vitesse et le rayon de l’électron de l’atome d’hydrogène dans l’état fondamentale. À partir de quel numéro atomique Z, la vitesse de l’électron atteint-elle 65% de la vitesse de la lumière ? Calculer également le rayon r₁ correspondant.
7. Calculez l’hamiltonien H du système classique.
8. Calculez la durée de vie de l’atome dans le cas du rayonnement dipolaire.
9. Déterminez la formule reliant la longueur d’onde avec les niveaux électroniques initiaux et terminaux.

Système fini à une dimension

1. En considérant une onde stationnaire, exprimez le laplacien de la fonction d’onde.
2. Introduisez les éléments suivants dans l’équation formée et isolez l’énergie totale.
3. Considérons maintenant une cavité de potentiel de longueur a. Les conditions limites aux bornes d’application du potentiel sont donnés en cours. Trouvez l’expression de E_n en injectant cette solution d’onde stationnaire dans l’équation précédente. Les niveaux d’énergie calculés correspondent à quel dispositif physique ?

Formulaire

Constante de Planck : h = 6,626 10^-34 J s

Charge de l’électron : e = 1,602 10^-19 C

Masse de l’électron : m_e = 9,1 10^-31 kg

Constante de structure fine : $\mathsf{\cfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} \approx \cfrac{1}{137}}$

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1. N. Bohr. ≪ Sur la constitution des atomes et des molécules I & II ≫. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science(juill. 1913) DOI : 10.58156/12 ↩︎
2. J. Perrin. ≪ Mouvement brownien et réalité moléculaire ≫. Annales de Chimies et de Physiques18.8 (1909), p. 5-114. DOI : 10.58156/10 ↩︎

$\mathsf{\mathfrak{C}}$