Objectif
L’objectif de cet exercice est de d’écrire les conditions d’émission du rayonnement laser pour un système à deux, trois ou quatre niveaux et d’en déduire leurs rendements énergétiques respectifs. Cet exercice est issu des travaux originaux de A. Einstein1,2 puis de C. Townes et A. Schawlow.
Laser à deux niveaux
On considère l’interaction d’un ensemble d’électrons N, réparti sur deux niveaux N1et N2, avec le rayonnement d’une cavité en équilibre à la température T. La distribution spectrale de la densité électromagnétique dans la cavité ρ(λ), est donnée à cette température par la loi de Planck. La différence d’énergie entre les deux niveaux correspond à un rayonnement de longueur d’onde–d’après la relation de Planck-Einstein. La répartition de la population d’électron sur les deux niveaux d’énergie est donnée par la statistique de Maxwell – Boltzmann.
- Déterminez l’équation d’évolution de la population du niveau excité.
- En déduire le rapport des populations des deux niveaux d’énergie à l’équilibre thermodynamique.
- En comparant le rapport des populations obtenu précédemment à celui donné par la statistique de Maxwell – Boltzmann, en déduire les rapports des probabilités de transition par absorption et émission stimulée ainsi que le rapport entre le taux d’émission spontanée et le taux d’émission stimulée.
- Calculez ce rapport pour λ = 1 μm et pour λ = 10 μm. Commentez la dépendance de ce rapport en fonction de la longueur d’onde λ pour la transition considérée.
- Relier ce résultat à l’évolution technologique des lasers.
- Déterminez l’expression de $\mathsf{\frac{N_1}{N}, \frac{N_2}{N}}$, et $\mathsf{\frac{\Delta N}{N}}$
- Concluez sur le régime d’émission stationnaire d’un tel système et sur le rendement de ces lasers.
Laser à trois et quatre niveaux
On considère un système à trois niveaux d’énergie en régime stationnaire. L’absorption a lieu entre les niveaux |1⟩ et |3⟩. La transition d’émission laser a lieu entre le niveau |2⟩ et le niveau |1⟩. La transition entre les niveaux |3⟩ et |2⟩ est non radiative. Pour la suite de l’exercice et pour simplifier les calculs les notations suivantes seront adoptées : γij = Aij = $\mathsf{\frac{1}{τ_i}}$, et ωij = ρBij, et toujours avec ωij = ωji.
- Déterminez l’expression de la population N2 en l’absence d’effet laser et trouvez la condition sur les constantes de temps τ3 et τ2 pour pouvoir négliger la population N3 par rapport à N2. On admettra que la γ21 est égale à l’inverse de la durée de vie du niveau 2, τ2.
- En se plaçant sur le niveau N1, montrer qu’il existe un seuil de pompage pour obtenir l’effet d’amplification laser dans un système à trois niveaux d’énergie. Déterminez l’expression de ce seuil en se plaçant dans le cas où N3 est négligeable devant N1 et N2.
- Déterminez l’expression de $\mathsf{\frac{N_1}{N}}$, $\mathsf{\frac{N_2}{N}}$ et $\mathsf{\frac{∆N}{N}}$, en régime stationnaire. Que pouvez vous en déduire sur les conditions d’émission du rayonnement laser ?
- Concluez sur le rendement des lasers à trois niveaux.
- À partir du résultat précédent, déterminez les conditions d’émission laser d’un laser à 4 niveaux et justifiez l’emploi préférentiel de ces lasers.
Formulaire
Constante d’Avogadro : NA = 6,022 1023 at.mol-1
Constante de Planck : h = 6,626 10-34 J s
Charge de l’électron : e = 1,602 10-19 C
Masse de l’électron : me = 9,1 10-31 kg
Constante de structure fine : $\mathsf{\cfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} \approx \cfrac{1}{137}}$
Loi de Planck : $\mathsf{\rho(\lambda)=\frac{8 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{k}\frac{1}{\lambda T}}-1}}$ J m-3 s-1
Loi de Maxwell Boltzmann : $\mathsf{\frac{N_2}{N_1} =e^{-\frac{hc}{k}\frac{1}{\lambda T}}}$
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- A. Einstein. ≪ Un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la lumière ≫. Annalen der Physik322.6 (1905), p. 132-148. doi:10.58156/84. ↩︎
- A. Einstein.≪Contribution à la théorie quantique du rayonnement ≫. Physikalische Zeitschrift18 (1917), p. 121-128. doi:10.58156/9 ↩︎